Persamaan Linear

1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x maka

Titik potong dengan sumbu y maka

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :

dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.

Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :

1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.

a.       x +  y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b.      x² + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c.       p² + q² = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d.      2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

2.  Carilah penyelesaian sistem persamaan  x + 2y = 8 dan  2x – y = 6
Jawab  ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8  | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6   | x 1 | –> 2x –    y = 6              –   ………*
5y  = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
x  + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8  | x 1 | –> x + 2y =   8
2x – y = 6   | x 2 | –> 4x – 2y = 12              +     ……*
5x  = 20
x  = 4
masukkan nilai x = 4  ke dalam suatu persamaan
x  + 2 y = 8
4  + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4  = 2
HP =  {4, 2}

3. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi

Jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu   x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi  x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah  tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6  menjadi :             2 (8 – 2y) – y = 6  ; (x persamaan kedua menjadi  x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y =  2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4  = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi  penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan  y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

4. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan  4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli  4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model       matematika.
Misal:  harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya  4 x + 5 y =  ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000     | x 5 |  = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500   | x 2 |  = 10x +   8 y = 23.000    –    ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y  = 7000
y  = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x   = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah  4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :

contoh 1.

contoh 2.

contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat





Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :

Semoga artikel ini dapat bermanfaat, selain materi persamaan dan pertidaksamaan linear ini sebelumnya telah saya berikan materi pertidaksamaan kuadrat. Selamat Belajar dan Semoga Sukses.

10 tip dan trik sebagai panduan belajar efektif agar bisa meraih prestasi.

10 tip dan trik sebagai panduan belajar efektif agar bisa meraih prestasi.
1. Jangan paksa belajar  pada satu kegiatan

Bagi warga belajar yang istiqomah (rutin) belajar, ia akana meluangkan waktu setiap hari meskipun sebentar untuk mengulang pelajaran, latihan atau sekedar membaca materi pokok pelajaran. Kebiasaan ini sangat baik, jika dilakukan setiap hari. Hal itu, lebih baik ketimbang belajar satu sesi menjelang ujian, atau semester. seperti kata pepatah: “Sedikit demi sedikit lama-lama menjadi bukit.”

2. Saat mau belajar memiliki rencana

Rencana belajar maksudnya adalah memiliki jadwal-jadwal belajar di luar sekolah. Buatlah jadwal belajar harian, mingguan jam demi jam. Lalu usahakan dengan tegas, dan tepati semua jadwal yang kamu buat. Bagi warga belajar yang tidak teratur, biasanya tidak sebagus yang memiliki rencana dan rutin belajar.

3. Tepati rencana belajar sebagai kebiasaan

Memiliki jadwal belajar itu bagus, yang terpenting dari itu adalah meneptai kegiatan jadwal belajar itu sesuai waktu yang ditetapkan dengan rutin dan menjadi kebiasaan. Misalnya, setiap malam jam 20.00 – 21.00 Wib. Nah, jika ini rutin dilakukan, maka kamu akan lebih fokus dan menikmati proses belajar sebagai bagian dari jam tubuh kamu seperti juga makan dan ibadah. Dampak dari semuanya, secara psikologis akan lebih tenang, fresh dan percaya diri serta lebih produktif.

4. Memiliki tujuan khusus di setiap kegiatan belajar

Tujuan khsusu dalam setiap sesi belajar itu maksudnya agar saat mau belajar sudah siap mau menyelesaikan problem apa, atau hendak memahami sesuatu yang dicari. Nah, dengan demikian, cobalah kamu mengatur tujuan belajar yang kamu lakukan itu setiap hari secara spesifik pada masalah yang telah disusun. Ini akan membantu sekali pada keseluruhan topi pelajaran yang diajarkan di sekolah.

5. Sekali-kali jangan menunda belajar

Kebanyakan pelajar (warga belajar) ada yang suka dan tidak suka dalam mata pelajaran. Dampaknya, jika kamu tidak suka dengan pelajaran tersebut akan mudah menunda belajar, dan lebih memilih kegiatan lain.

Nah, warga belajar yang berhasil, biasanya tidak pernah menunda sesi belajar meski sibuk sekalipun. Jika kamu melakukan penundaan, maka masalah akan bertumpuk-tumpuk dan ini menjadi penyebab kegagalan dalam belajar. Jadi, sekali-kali jangan menunda belajar!

6. Dahulukan pelajaran yang paling sulit

Karena pelajaran yang sulit butuh konsentrasi tinggi, usaha dan mental pelajar, maka dahulukan dan jadikan perhatian yang utama. Nah, jika kamu memulai dengan yang sulit-sulit, percaya atau tidak, ini akan mengantarkan kamu menjadi pelajar yang meningkat dan sangat akan sangat efektif bagi kelangsungan pembelajaran kamu.

7. Selalu mengulang catatanmu sebelum mulai mengerjakan tugas

Pastikan kamu mengulang atau membaca terlebih dahulu catatan yang dimiliki sebelum mengerjakan tugas. Karena itu, buatlah catatan yang baik selama mengikuti pelajaran di kelas. Karena hal ini akan membantu untuk menyelesaikan pekerjaan atau tugas yang harus diselesaikan. Jadi, pastikan kamu tahu persis bagaimana mengerjakan tugas utama itu dengan benar.

8. Jangan biarkan ada gangguan selama belajar

Hal yang bisa menenangkan itu perlu dicari. Karena itu, carilah tempat belajar yang aman dari gangguan. Sebab, saat kamu terganggu, maka ini akan mengganggu konsentrasi belajar dan ini sungguh mengganggu beljar kamu.

9. Ikuti belajar kelompok dengan efektif

Percaya atau tidak, belajar kelompok dengan efektif akan membawa banyak keuntungan. Seperti mendapat bantuan teman, menyelesaikan tugas dengan cepat, memahami konsep dengan tepat dan bisa berbagi pengetahuan dengan teman-teman lainnya. Masih ingatkah pepatah, “Dua kepala lebih baik daripada satu kepala?”. Jadi, gunakan pepatah ini untuk belajar. Lalu mana kelompok belajar yang tidak efektif? yaitu mereka yang minim dari persiapan dan strategi belajar.

10. Catat ulang setiap tugas, dan materi setiap minggu terakhir

Ada pengalaman yang bagus dari kebiasaan para pelajar yang sukses yaitu mereka selalu setiap akhir pekan mengulang catatannya. Kenapa begitu? Karena dengan mengulang catatan setiap akhir minggu, maka satu sisi dia lebih menguasai pelajaran selama seminggu, dan akan mempersiapkan materi apa saja yang belum dikuasai pada minggu berikutnya sehingga kamu akan lebih siap menerima konsep-konsep baru dalam pelajaran pada minggu berikutnya.